Kondensatorinduktorberechnungen

Induktivitäten können als das Gegenteil von Kondensatoren vorgestellt werden. Der Hauptunterschied zwischen einem Kondensator und einer Induktivität besteht darin, dass ein Kondensator ein Schutzdielektrikum zwischen seinen Platten trägt, das die Stromleitung über seine Anschlüsse verhindert. Hier wirkt es wie ein offener Stromkreis.

Andererseits ist die Induktivität eines Induktors normalerweise (wenn auch nicht immer) von unglaublich niedrigem oder minimalem Widerstand. Es verhält sich im Wesentlichen wie ein geschlossener Kreislauf.

Kondensatorinduktor Dualität

In der Elektronik gibt es einen eindeutigen Begriff für diese Art von Beziehung zwischen zwei Parametern einer Schaltung oder Teilen einer Schaltung. Die Elemente dieses Paartyps sind bekannt als Duale voneinander . Beispielsweise ist ein offener Stromkreis abhängig von der Fähigkeit, Strom zu leiten, das Doppelte eines geschlossenen Stromkreises.

Nach dem gleichen Prinzip ist ein Induktor das Dual eines Kondensators. Die Dualität von Induktivitäten und Kondensatoren ist viel tiefer als nur die natürliche Fähigkeit, Strom zu leiten.

In diesem Artikel vergleichen wir das Funktionsprinzip von Induktor und Kondensator und bewerten die Ergebnisse mit Berechnungen und Formeln.

Trotz der Tatsache, dass Induktivitäten normalerweise selten in elektronischen Schaltkreisen zu sehen sind, da sie heute hauptsächlich durch Operationsverstärker in aktiven Filtern ersetzt werden, scheinen die anderen an einem Schaltkreis beteiligten Teile eine gewisse Induktivität zu tragen.

Die Selbstinduktivität der Anschlüsse eines Kondensators oder Widerstands wird in Hochfrequenzschaltungen zu einem großen Problem, was erklärt, warum bleifreie oberflächenmontierte Widerstände und Kondensatoren in solchen Anwendungen so häufig verwendet werden.

Grundlegende Kondensatorgleichungen

Die Grundgleichung für Kondensatoren ist die, mit der der Farad definiert wird:

C = Q / I [Gleichung 19]

Dabei ist C die Kapazität in Farad, Q die Ladung in Coulomb und U der pd zwischen den Platten in Volt.

Durch Gl. In 19 erhalten wir eine Formel der Form Q = ∫ I dt + c, wobei c die Anfangsladung ist, falls verfügbar. Nachdem wir Q identifiziert haben, können wir U aus Gl. 19:

U = 1 / C ∫ I dt + c / C. [Gl. 21]

Eine wichtige Eigenschaft eines Kondensators kann so sein, wenn ein periodischer Strom an ihn angelegt wird (normalerweise ein Strom, der sinusförmig schwingt), die Ladung des Kondensators und die Spannung über ihm auch sinusförmig schwanken.

Die Ladungs- oder Spannungskurve ist eine negative Kosinuskurve, oder wir können sie uns als Sinuskurve vorstellen, die um die hinter der Stromkurve zurückbleibt Pi / 2 Betrieb (90 °).

Die Grundgleichung, die das Henry, die Einheit der Induktivität, definiert, lautet

L = NΦ / I. [Gl.22]

Bei Bezug auf eine einzelne Spule kann die Selbstinduktivität in Henry die Flussbeziehung (der magnetische Fluss) sein<1) in weber multiplied by the number of winding N, (because the magnetic flux cuts through each turn), when a unit current passes through it (I = 1 A). An even more handy definition could be extracted from Eq. 22, using Neumann’s equation. This claims that:

U = N (dΦ / dt) [Gl. 23]

Was diese Gleichung nahe legt, ist die Tatsache, dass die e.m.f. induziert innerhalb eines Induktors ist relativ zur verknüpften Änderungsrate des Flusses.

Je schneller sich der Fluss ändert, desto höher ist der induzierte e.m.f. Zum Beispiel, wenn der Fluss über dem Induktor oder der Spule mit einer Geschwindigkeit von 2 mWb s ansteigt^-1und unter der Annahme, dass die Spule 25 Windungen hat, ist U = 25x2 = 50V.

Der Weg des e.m.f. ist so, dass es den Schwankungen des Flusses widersteht, wie sie im Lenzschen Gesetz dargelegt sind.

Auf diese Wahrheit wird oft hingewiesen, indem der rechten Seite der Gleichung ein Minuszeichen vorangestellt wird. Solange wir jedoch glauben, dass U die Rückseite ist, könnte das Vorzeichen entfernt werden.

Differentiale

Der Term dΦ / dt in Gl. 23 gibt an, was wir als Änderungsrate des Flusses gelernt haben. Die Phrase wird das Differential von Φ in Bezug auf t genannt, und ein ganzer Zweig der Arithmetik ist der Arbeit mit dieser Art von Ausdrücken gewidmet. Die Phrase hat die Form einer einzelnen Zahl (dΦ) geteilt durch eine weitere Menge (dt).

Differentiale werden verwendet, um zahlreiche Sätze von Proportionen zuzuordnen: dy / dx korreliert beispielsweise die Variablen x und y. Wenn ein Diagramm mit Werten von x über die horizontale Achse und Werten von y über die vertikale Achse gezeichnet wird, gibt dy / dx an, wie steil die Steigung oder der Gradient des Diagramms ist.

Wenn U die FET-Gate-Source-Spannung ist, wobei T der zugehörige Drainstrom ist, dann bezeichnet dI / dU die Größe, mit der ich mich für gegebene Änderungen in U ändere. Alternativ können wir sagen, dI / dU ist die Transleitfähigkeit. Bei der Erörterung von Induktoren könnte dΦ / dt die Änderungsrate des Flusses mit der Zeit sein.

Die Berechnung eines Differentials kann als inverser Integrationsvorgang angesehen werden. In diesem Artikel ist nicht genügend Raum vorhanden, um die Differenzierungstheorie zu untersuchen. Dennoch werden wir eine Tabelle häufig verwendeter Größen zusammen mit ihren Differentialen definieren.

Standarddifferentiale

In der obigen Tabelle werden I und t anstelle der Routine x und y als Faktoren verwendet. Damit seine Details speziell für die Elektronik relevant sind.

Wenn man bedenkt, dass I = 3t +2 ist, kann die Art und Weise, wie ich in Bezug auf die Zeit abweiche, in der Grafik von Fig. 38 dargestellt werden. Um die Änderungsrate von I zu jedem Zeitpunkt zu bestimmen, schätzen wir dI / dt durch unter Bezugnahme auf die Tabelle.

Das erste Element in der Funktion ist 3t oder, um es als erste Zeile der Tabelle zu formatieren, 3t¹. Wenn n = 1 ist, beträgt das Differential 3t^1-1= 3t⁰.

Da t⁰= 1, das Differential ist 3.

Die zweite Größe ist 2, was als 2t ausgedrückt werden kann⁰.

Dies ändert n = 0 und die Größe des Differentials ist Null. Die Differenz einer Konstanten ist immer Null. Wenn wir beide kombinieren, haben wir:

dI / dt = 3

In dieser Abbildung enthält das Differential kein t, dh das Differential ist nicht zeitabhängig.

Einfach ausgedrückt beträgt die Steigung oder der Gradient der Kurve in Fig. 38 kontinuierlich 3. Abbildung 39 zeigt die Kurve für eine andere Funktion, I = 4 sin 1,5 t.

In Bezug auf die Tabelle ist in dieser Funktion α = 1,5 und b = 0. Die Tabelle zeigt, dl / dt = 4 × 1,5 cos 1,5 t = 6 cos 1,5 t.

Dies informiert uns über die momentane Änderungsrate von I. Zum Beispiel ist bei t = 0,4 dI / dt = 6cos0,6 = 4,95. Dies konnte in Fig. 39 festgestellt werden, in der die Kurve für 6 cos0,6t den Wert 4,95 enthält, wenn t = 0,4 ist.

Wir können auch beobachten, dass die Steigung der Kurve 4sin1.5t 4,95 beträgt, wenn t = 0,4 ist, wie durch die Tangente an die Kurve an diesem Punkt gezeigt wird (in Bezug auf die verschiedenen Skalen auf den beiden Achsen).

Wenn t = π / 3 ist, ein Punkt, an dem der Strom am höchsten und konstantesten ist, in diesem Fall dI / dt = 6cos (1,5xπ / 3): 0, entsprechend einer Stromänderung von Null.

Im Gegensatz dazu sehen wir, wenn t = 2π / 3 ist und der Strom auf dem höchstmöglichen Niveau von positiv nach negativ schaltet, dI / dt = 6cosπ = -6, seinen höchsten negativen Wert, der eine hohe Stromreduzierung zeigt.

Der einfache Vorteil von Differentialen besteht darin, dass sie es uns ermöglichen, Änderungsraten für Funktionen zu bestimmen, die im Vergleich zu I = 4sin 1,5 t viel komplexer sind, ohne die Kurven zeichnen zu müssen.

Zurück zu den Berechnungen

Durch Reorganisation der Terme in Gleichung 22 erhalten wir:

Φ = (L / N) I. [Gl. 24]

Wobei L und N konstante Dimensionen haben, aber Φ und ich einen zeitlichen Wert haben können.

Die Unterscheidung der beiden Seiten der Gleichung in Bezug auf die Zeit ergibt:

dΦ / dt = (L / N) (dI / dt) [Gl. 25]

Das Zusammenführen dieser Gleichung mit Gleichung 23 ergibt:

U = N (L / N) (dI / dt) = L (dI / dt) [Gl. 26]

Dies ist eine andere Art, das auszudrücken Henry . Wir können sagen, dass eine Spule mit einer Selbstinduktivität von 1 H eine Stromänderung von 1 A s ist^-1erzeugt einen Rücken e.m.f. von 1 V. Bei einer Funktion, die definiert, wie sich ein Strom mit der Zeit ändert, ist Gl. 26 hilft uns dabei Berechnen Sie die Rückseite e.m.f. eines Induktors zu jedem Zeitpunkt.

Es folgen einige Beispiele.

A) I = 3 (ein konstanter Strom von 3 A) dl / dt = 0. Sie können keine Stromänderung finden, daher die Rückseite e.m.f. ist Null.

B) I = 2t (ein Rampenstrom) dI / dt = 2 A s^-1. Bei einer Spule mit L = 0,25 H ist die Rückseite e.m.f. wird konstant bei 0,25 × 2 = 0,5 V sein.

C) I = 4sin1,5 t (der in der vorherigen Abbildung angegebene sinusförmige Strom dl / dt = 6 cos 1,5 t. Bei einer Spule mit L = 0,1 H beträgt die momentane Gegen-EMK 0,6 cos 1,5 t. Die Gegen-EMK folgt der Differenzkurve von Fig. 39, jedoch mit einer Amplitude von 0,6 V anstelle von 6 A.

'Duals' verstehen

Die folgenden zwei Gleichungen bezeichnen die Gleichung eines Kondensators bzw. einer Induktivität:

Es hilft uns, den Spannungspegel zu bestimmen, der über der Komponente durch zeitlich variierenden Strom gemäß einer bestimmten Funktion erzeugt wird.

Lassen Sie uns das Ergebnis von bewerten differenzieren die L- und H-Seiten von Gleichung 21 in Bezug auf die Zeit.

dU / dt = (1 / C) I.

Da wir wissen, dass Differenzierung die Umkehrung der Integration ist, kehrt die Differenzierung von ∫I dt die Integration um, wobei nur I das Ergebnis ist.

Das Differenzieren von c / C ergibt Null, und das Neuanordnen der Begriffe ergibt Folgendes:

I = C.dU / dt [Gl. 27]

Dies ermöglicht es uns, die Richtung des Stroms zu kennen, ob er in Richtung des Kondensators fließt oder aus diesem herauskommt, als Reaktion auf eine Spannung, die gemäß einer gegebenen Funktion variiert.

Das Interessante ist, dass das oben genannte Kondensatorstromgleichung sieht ähnlich aus wie die Spannungsgleichung (26) eines Induktors, der die Kapazität, Induktivitätsdualität.

In ähnlicher Weise können die Strom- und Potentialdifferenz (pd) oder die Änderungsrate von Strom und pd dual sein, wenn sie an Kondensatoren und Induktivitäten angelegt werden.

Lassen Sie uns nun Gleichung 26 in Bezug auf die Zeit integrieren, um die Gleichung quatret zu vervollständigen:

∫ U dt + c = LI

Das Integral von dI / dt ist = I, wir ordnen die Ausdrücke neu an, um zu erhalten:

I = 1 / L∫ U dt + e / L.

Dies sieht wieder ziemlich ähnlich zu Gleichung 21 aus, was die duale Natur von Kapazität und Induktivität sowie deren pd und Strom weiter beweist.

Inzwischen haben wir vier Gleichungen, mit denen sich Probleme im Zusammenhang mit Kondensatoren und Induktoren lösen lassen.

Zum Beispiel kann Gleichung 27 angewendet werden, um das Problem wie folgt zu lösen:

Problem: Ein an 100 uF angelegter Spannungsimpuls erzeugt eine Kurve, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Dies kann mit der folgenden stückweisen Funktion definiert werden.

Berechnen Sie den Strom, der durch den Kondensator fließt, und zeichnen Sie die entsprechenden Diagramme auf.

Lösung:

Für die erste Stufe wenden wir Gleichung 27 an

I = C (dU / dt) = 0

Für den zweiten Fall, in dem U mit einer konstanten Rate ansteigen kann:

I = C (dU / dt) = 3C = 300 uA

Dies zeigt einen konstanten Ladestrom.

Für die dritte Stufe, wenn U exponentiell abfällt:

Dies zeigt an, dass der Strom mit einer exponentiell abnehmenden Rate vom Kondensator wegfließt.

Phasenbeziehung

In der Abobe-Figur wird ein alternierender pd an einen Induktor angelegt. Dieser pd kann jederzeit ausgedrückt werden als:

Wobei Uo der Spitzenwert des pd ist. Wenn wir die Schaltung in Form einer Schleife analysieren und das Kirchhoffsche Spannungsgesetz im Uhrzeigersinn anwenden, erhalten wir:

Da der Strom hier jedoch sinusförmig ist, müssen die Terme in der Klammer den Wert haben, der dem Spitzenstrom Io entspricht, daher erhalten wir schließlich:

Wenn wir Gleichung 29 und Gleichung 30 vergleichen, stellen wir fest, dass der Strom I und die Spannung U die gleiche Frequenz haben und ich um U hinter U zurückbleibe π / 2.

Die resultierenden Kurven können in dem folgenden Diagramm untersucht werden:

C.

Dies zeigt die gegensätzliche Beziehung zwischen Kondensator und Induktor. Bei einem Induktorstrom liegt die Potentialdifferenz um π / 2 zurück, während bei einem Kondensator der Strom dem pd vorauseilt. Dies zeigt einmal mehr die duale Natur der beiden Komponenten.