Die Mathematik spielt eine entscheidende Rolle, um das Verhalten und die Arbeitsweise von zu verstehen elektrisch und elektronische Systeme . Polynome, Algebra, Wahrscheinlichkeit, Integrationen und Differenzierungen usw. bilden einen wesentlichen Teil der Werkzeuge, die zur Lösung der Systeme verwendet werden. Mit der zunehmenden Komplexität von Systemen sind sehr ausgefeilte Methoden erforderlich. Differentialgleichungen werden häufig zur Definition von Steuerungssystemen verwendet. Diese Gleichungen sind einfach zu lösen. Beim Lösen von Differentialgleichungen höherer Ordnung entsteht jedoch Komplexität. Um solch komplexe Differentialgleichungen höherer Ordnung zu lösen, hat sich die mathematische Methode als effektiv erwiesen Laplace-Transformation . Da diese Transformation weit verbreitet ist, ist es hilfreich zu wissen, wofür sie wirklich gedacht sind und wie sie funktionieren.

Was ist eine Laplace-Transformation?

In der Mathematik werden Transformationen angewendet, um eine Variable von einer Form in eine andere zu transformieren, damit die Gleichung einfach zu handhaben ist. Laplace-Transformationen machen so ziemlich das Gleiche. Sie transformieren Differentialgleichungen höherer Ordnung in eine Polynomform, die weitaus einfacher ist als die direkte Lösung von Differentialgleichungen.

Aber es gibt verschiedene Transformationen wie die Fourier-Transformation. Z-Transformationen, was macht die Laplace-Transformation so besonders? Der Hauptvorteil der Laplace-Transformation besteht darin, dass sie sowohl für stabile als auch für instabile Systeme definiert sind, während Fourier-Transformationen nur für stabile Systeme definiert sind.

Laplace-Transformationsformel

Eine Laplace-Transformation der Funktion f (t) in einem Zeitbereich, in der t die reelle Zahl größer oder gleich Null ist, wird dort als F (s) angegeben s ist die komplexe Zahl im Frequenzbereich .i.e. s = σ + jω
Die obige Gleichung wird als betrachtet einseitig Laplace-Transformationsgleichung . Wenn die Grenzen auf die gesamte reale Achse ausgedehnt werden, wird die Bilaterale Laplace-Transformation kann definiert werden als
In praktischen Schaltungen wie RC- und RL-Schaltungen In der Regel werden Anfangsbedingungen verwendet, sodass einseitige Laplace-Transformationen zu Analysezwecken angewendet werden.
Als s = σ + jω verhält sich Laplace-Transformation bei σ = 0 wie eine Fourier-Transformation.

“Was ist ein Einweggleichrichter? ”

Laplace-Transformationsformeln

Bedingungen für die Anwendbarkeit der Laplace-Transformation

Laplace-Transformationen werden als integrale Transformationen bezeichnet, daher gibt es notwendige Bedingungen für die Konvergenz dieser Transformationen.
d.h. f muss für das Intervall [0, ∞) lokal integrierbar sein und abhängig davon, ob σ positiv oder negativ ist, kann e ^ (- σt) abnehmen oder wachsen. Bei bilateralen Laplace-Transformationen anstelle eines einzelnen Werts konvergiert das Integral über einen bestimmten Wertebereich, der als Region of Convergence bezeichnet wird.

Eigenschaften der Laplace-Transformation:

Linearität

Zeitverschiebung

Verschiebung in der S-Domäne

Zeitumkehr

Differenzierung in der S-Domäne

Faltung in der Zeit

Anfangswert-Theorem

Der Anfangswertsatz wird angewendet, wenn in der Laplace-Transformation der Grad des Zählers kleiner als der Grad des Nenners ist Endwertsatz:

Wenn alle Pole von sF (s) in der linken Hälfte des S-Ebenen-Endwertsatzes liegen, wird dieser angewendet.

Inverse Laplace-Transformation

Aufgrund der Konvergenzeigenschaft hat die Laplace-Transformation auch eine inverse Transformation. Laplace-Transformationen weisen eine Eins-zu-Eins-Zuordnung von einem Funktionsraum zu einem anderen auf. Die Formel für die inverse Laplace-Transformation lautet

“cmos Nand Gate Wahrheitstabelle ”

Wie berechnet man die Laplace-Transformation?

Die Laplace-Transformation vereinfacht die Handhabung der Gleichungen. Wenn eine Differentialgleichung höherer Ordnung angegeben wird, wird eine Laplace-Transformation angewendet, die die Gleichung in eine algebraische Gleichung umwandelt und so die Handhabung erleichtert. Dann berechnen wir die Wurzeln durch Vereinfachung dieser algebraischen Gleichung. Nun wird eine inverse Laplace-Transformation eines einfacheren Ausdrucks gefunden, die die gegebene Differentialgleichung höherer Ordnung löst.

Laplace-Transformationsberechnung

Anwendungen der Laplace-Transformation

Analyse von elektrischen und elektronische Schaltkreise .
Zerlegen komplexer Differentialgleichungen in einfachere Polynomformen.
Die Laplace-Transformation gibt Auskunft über stationäre und transiente Zustände.
Beim maschinellen Lernen wird die Laplace-Transformation verwendet, um Vorhersagen zu treffen und Analysen im Data Mining durchzuführen.
Die Laplace-Transformation vereinfacht die Berechnungen bei der Systemmodellierung.

Anwendung der Laplace-Transformation in der Signalverarbeitung

Laplace-Transformationen werden häufig für die Signalverarbeitung ausgewählt. Zusammen mit der Fourier-Transformation wird die Laplace-Transformation wird verwendet, um Signale im Frequenzbereich zu untersuchen. Wenn das Signal im Frequenzbereich kleine Frequenzen enthält, kann man erwarten, dass das Signal im Zeitbereich glatt ist. Das Filtern eines Signals erfolgt normalerweise im Frequenzbereich, für den Laplace als wichtiges Werkzeug zum Konvertieren eines Signals vom Zeitbereich in den Frequenzbereich fungiert.

Anwendung der Laplace-Transformation in Steuerungssystemen

Steuerungssysteme dienen normalerweise zur Steuerung des Verhaltens anderer Geräte. Beispiel von Kontroll systeme kann von einem einfachen Heizungsregler für den Hausgebrauch bis zu einem industriellen Steuerungssystem reichen, das das Verhalten von Maschinen reguliert.

Im Allgemeinen verwenden Steuerungsingenieure Differentialgleichungen, um das Verhalten verschiedener Funktionsblöcke mit geschlossenem Regelkreis zu beschreiben. Die Laplace-Transformation wird hier zum Lösen dieser Gleichungen verwendet, ohne dass wichtige Variableninformationen verloren gehen.

Charakterisierung linearer zeitinvarianter Systeme mittels Laplace-Transformation

Für einen dem System zugeordneten zufälligen System-ROC ist die Funktion die rechte Halbebene. Ein System ist anti-lässig, wenn seine Impulsantwort h (t) = 0 für t> 0 ist.

Wenn der ROC der Systemfunktionen H (s) die jω-Achse enthält, dann ist der L.T.I. Das System wird als stabiles System bezeichnet. Wenn ein Casual-System mit rationalen Systemfunktionen H (s) für alle seine Pole negative Realteile hat, ist das System stabil.

Daher ist die Laplace-Transformation ein entscheidendes Werkzeug bei der Analyse von Schaltkreisen. Wir können sagen, wie ein Stethoskop für Arzt Laplace-Transformationen ist, um Ingenieur zu steuern. Als was betrachten Sie Laplace-Transformationen? Inwiefern waren sie für Sie hilfreich?