Ohmsches Gesetz / Kirchhoffsches Gesetz unter Verwendung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

Ohmsches Gesetz / Kirchhoffsches Gesetz unter Verwendung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung

In diesem Artikel versuchen wir, das Ohmsche Gesetz und das Kirchhoffsche Gesetz durch Standardformeln und Erklärungen zu verstehen und lineare Differentialgleichungen erster Ordnung anzuwenden, um beispielhafte Problemmengen zu lösen.

Was ist ein Stromkreis?

Eine einfachste elektrische Schaltung hat im Allgemeinen die Form einer Reihenschaltung mit einer Energiequelle oder einer elektromotorischen Krafteingabe, wie von einer Batterie oder einem Gleichstromgenerator, und einer ohmschen Last, die diese Energie verbraucht, beispielsweise einer elektrischen Glühbirne, wie in gezeigt das Diagramm unten:



Bezugnehmend auf das Diagramm, wenn der Schalter geschlossen ist, Strom ich durchläuft den Widerstand, wodurch eine Spannung über dem Widerstand erzeugt wird. Das heißt, wenn gemessen, zeigen die Potentialdifferenzen an den beiden Endpunkten des Widerstands unterschiedliche Werte. Dies kann mit einem Voltmeter bestätigt werden.




Aus der oben erläuterten Situation kann das Standard-Ohmsche Gesetz abgeleitet werden als:

Der Spannungsabfall ER über einem Widerstand ist proportional zum Momentanstrom I und kann ausgedrückt werden als:

ER = RI (Gleichung # 1)

Im obigen Ausdruck ist R. wird als Proportionalitätskonstante definiert und als Widerstand des Widerstands bezeichnet.

Hier messen wir die Spannung IS in Volt der Widerstand R. in Ohm und der Strom ich in Ampere.

Dies erklärt das Ohmsche Gesetz in seiner grundlegendsten Form innerhalb eines einfachen Stromkreises.
In komplexeren Schaltungen sind zwei weitere wesentliche Elemente in Form von Kondensatoren und Induktivitäten enthalten.

Was ist ein Induktor?

Ein Induktor kann als ein Element definiert werden, das einer Änderung des Stroms entgegenwirkt und einen trägheitsähnlichen Effekt im Stromfluss erzeugt, genau wie es eine Masse in mechanischen Systemen tut. Experimente haben für Induktoren Folgendes ergeben:

Der Spannungsabfall DAS über einen Induktor ist proportional zur momentanen zeitlichen Änderungsrate des Stroms I. Dies kann ausgedrückt werden als:

EL = L dl / dt (Gleichung 2)

wobei L zur Proportionalitätskonstante wird und als Induktivität des Induktors bezeichnet wird und in gemessen wird Henrys. Die Zeit t wird in Sekunden angegeben.

Was ist ein Kondensator?

Ein Kondensator ist einfach ein Gerät, das elektrische Energie speichert. Experimente ermöglichen es uns, die folgende Erklärung zu erhalten:

Der Spannungsabfall an einem Kondensator ist proportional zur momentanen elektrischen Ladung Q am Kondensator. Dies kann ausgedrückt werden als:

EC = 1 / C x Q. (Gleichung 3)

wobei C als das bezeichnet wird Kapazität und wird in gemessen Farad die Gebühr Q. wird in Coulombs gemessen.

Allerdings seit I (C) = dQ / dt, Wir können die obige Gleichung wie folgt schreiben:



Der Wert des Stroms Es) kann in einer gegebenen Schaltung gelöst werden, indem die Gleichung gelöst wird, die durch Anwendung des folgenden physikalischen Gesetzes erzeugt wird:

Kirchhoffs Gesetz verstehen (KVL)

Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) war ein deutscher Physiker. Seine Volksgesetze können wie folgt verstanden werden:

Kirchhoffs aktuelles Gesetz (KCL) besagt:

An jedem Punkt eines Stromkreises ist die Summe der einströmenden Ströme gleich der Summe des abfließenden Stroms.

Das Kirchhoffsche Spannungsgesetz (KVL) besagt:

Die algebraische Summe aller momentanen Spannungsabfälle um einen geschlossenen Regelkreis ist Null, oder die an einen geschlossenen Regelkreis angelegte Spannung ist gleich der Summe der Spannungsabfälle im Rest des Regelkreises.

Beispiel 1: Unter Bezugnahme auf das folgende RL-Diagramm und durch Kombinieren der Gleichung Nr. 1,2 und der Kirchhoffschen Spannung können wir den folgenden Ausdruck ableiten:

Gleichung: 4



Betrachten wir diesen Fall A mit einer konstanten elektromotorischen Kraft:



Wenn in der oben beschriebenen Gleichung # 4 E = E0 = konstant ist, können wir die folgende Gleichung fahren:

Gleichung: 5

Hier nähert sich der letzte Term Null als t neigt dazu, ins Unendliche zu gehen, so dass Es) tendiert zum Grenzwert E0 / R. Nach einer ausreichend langen Verzögerung werde ich eine praktisch konstante erreichen, ohne vom Wert von c abhängig zu sein, was auch impliziert, dass dies unabhängig von einer Anfangsbedingung ist, die von uns erzwungen werden kann.

Unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung I (0) = 0 erhalten wir:

Gleichung: 5 *




Fall B (Periodische elektromotorische Kraft):




In Anbetracht E (t) = Eo sin ωt, dann kann unter Berücksichtigung von Gleichung 4 die allgemeine Lösung für Fall B wie folgt geschrieben werden:
(∝ = R / L)


Die Teilintegration gibt uns:





Dies kann weiter abgeleitet werden als:
ઠ = arc bis & ohgr; L / R

Hier tendiert der Exponentialterm dazu, sich Null zu nähern, wenn t dazu neigt, unendlich zu werden. Dies impliziert, dass der Strom I (t) nach Ablauf einer ausreichend langen Zeitspanne praktisch harmonische Schwingungen erreicht.




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